[A-Z] Công Thức & Các Dạng Dài Tập Về Viết Phương Trình Mặt Cầu

Công thức phương trình mặt cầu là gì? Cần nắm các dạng bài tập về viết phương trình mặt cầu nào để đạt điểm cao môn Toán trong kì thi THPT?… Có lẽ đây chính là thắc mắc của phần lớn các bạn lớp 12 khi đặt những “viên gạch” đầu tiên cho chuyên đề kiến thức mặt cầu.

Kiến thức mới thường sẽ khó, tuy nhiên nếu nắm vững và chinh phục được nó thì các bạn sẽ cảm thất rất thú vị. Ở bài viết này, gia sư Thành Tâm sẽ lần lượt giải đáp và hướng dẫn một cách chi tiết nhất các thắc mắc xoay quanh phương trình của mặt cầu. Hãy cùng đọc và theo dõi nhé!

Định nghĩa mặt cầu

Mặt cầu được định nghĩa khi với điểm O cố định cùng với một số thực dương R. Khi đó thì tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách O một khoảng R sẽ được gọi là mặt cầu tâm O và bán kính R. Ký hiệu: S (O;R).

Mặt cầu cũng có thể được định nghĩa theo khái niệm mặt tròn xoay. Theo đó mặt cầu là mặt tròn xoay khi quay đường tròn quanh một đường kính.

Các dạng phương trình mặt cầu

→ Phương trình chính tắc của mặt cầu:

Mặt cầu (S) có tâm O(a; b; c), bán kính R>0, có phương trình là: (S): (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = R²

→ Phương trình tổng quát của mặt cầu:

(S): x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (*)

Điều kiện để có phương trình tổng quát: a² + b² + c² – d>0

Mặt cầu (S) có tâm O (a; b; c) và bán kính R = √(a² + b² + c² – d)

Cách nhận biết phương trình của mặt cầu

Thông thường, với dạng toán này, đề bài sẽ cho các bạn các phương trình, sau đó yêu cầu chúng ta nhận dạng xem phương trình nào là phương trình của một mặt cầu.

Dấu hiệu nhận biết phương trình của một mặt cầu cụ thể như sau:

• Hệ số của x², y², z² phải giống nhau. Nếu hệ số của x², y², z² giống nhau mà chưa bằng 1 thì ta phải chia hai vế của phương trình để hệ số x², y², z² bằng 1.
• Phương trình x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 muốn là phương trình của một mặt cầu khi a² + b² + c² – d>0

→ Ví dụ:

Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu?

A. x²+y²+z²-4x+6y+2z+14=0.

B. x²+y²+z²-8x+2y+2z+62=0.

C. 3x²+y²+2z²-4x+6y+2z-6=0.

D. x²+y²+z²-4x+8y+2z-6=0.

→ Hướng dẫn:

Trong ví dụ trên, phương án A không thỏa mãn vì a² + b² + c² – d = 2² + (-3)² + (-1)² – 14 =0.

Phương án B không thỏa mãn vì a² + b² + c² – d = 4² + (-1)² + (-1)² – 62<0.

Phương án C không thỏa mãn vì hệ số của x², y², z² không bằng nhau.

Phương án D là đáp án đúng vì a² + b² + c² – d = 2² + (-4)² + (-1)² + 6 = 27>0.

Chọn đáp án D.

(Nguồn Internet)

Cách viết phương trình mặt cầu

Xoay quanh phần kiến thức viết phương trình của một mặt cầu có các nhiều dạng toán khác nhau từ cơ bản đến nâng cao. Là một gia sư toán lớp 12, Thành Tâm nhìn thấy được sự lúng túng và khó nhận dạng được từng dạng toán.

Bất kì dạng toán nào liên quan đến viết phương trình của một mặt cầu điều được quy về phương trình dạng chính tắc hoặc tổng quát. Để viết được phương trình này, các bạn phải có bán kính R và tọa độ tâm O. Đó chính là bản chất của vấn đề của các dạng toán ở phần chuyên đề kiến thức này.

Khi đó, các bạn chỉ cần áp dụng phương trình đã được học ở mục 2 là có thể viết được phương trình của mặt cầu cần tìm rồi đúng không nào.

>>> Xem thêm: [Tư Vấn] Tìm gia sư dạy Toán lớp 12, luyện thi đại học TPHCM

Các dạng bài tập về viết phương trình mặt cầu

Phần lớn các bạn lớp 12 điều cho rằng: Kiến thức phần mặt cầu sao khó quá, dễ nhầm lẫn giữa các dạng toán với nhau như thế. Thật ra, khi các bạn cảm thấy vậy là do các bạn chưa hiểu rõ được bản chất của kiến thức và bỏ qua những lý thuyết nền tảng ở sách giáo khoa. Nếu bạn đang loay hoay với điều này thì hãy mở sách giáo khoa toán 12 ra ngay nhé. Hãy đọc thật kỹ rồi hãy tiếp tục nghiên cứu các dạng bài tập dưới đây nhé!

Sau đây, đội ngũ gia sư toán lớp 12 của Thành Tâm sẽ hướng dẫn một cách chi tiết về các dạng toán viết phương trình của một mặt cầu cụ thể nhất.

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính (dạng cơ bản)

Cách 1: Viết phương trình của một mặt cầu dạng tổng quát

Gọi phương trình (S): x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0, phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a, b, c, d với a² + b² + c² – d >0

Cách 2: Viết phương trình mặt cầu dạng chính tắc:

→ Bước 1: Xác định tâm O (a; b; c).

→ Bước 2: Xác định bán kính R của mặt cầu (S)

→ Bước 3: Phương trình có dạng: (S): (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = R²

Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm O (2; 2; -3) và bán kình R = 3

Hướng dẫn: (S) có tâm O (2; 2; -3) có bán kính R = 3, có phương trình là: (x-2)² + (y-2)² + (z+3)² = 9

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm

Viết phương trình của một mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C (có cho sẵn tọa độ từng điểm) và thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp giải:

Gọi I (x; y; z) là tâm của mặt cầu đi qua ba điểm A, B và C. Suy ra:: IA = IB = IC.

⇔ IA² = IB² và IA² = IC² (1)

Dựa vào điều kiện cho trước để tìm phương trình còn lại.

⇒ Tọa độ tâm I, R² = IB²

⇒ Phương trình mặt cầu cần tìm.

Ví dụ: Cho 3 điểm A (2; 0; 1), B (1; 0; 0) và mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).

Hướng dẫn:

Gọi I (x; y; z) là tọa độ tâm của mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C.

Khi đó: IA = IB = IC

⇔ IA² = IB² và IA² = IC²

Ta có:

IA² = IB² ⇒ (x-2)²  + y² + (z-1)²  = (x-1)²  + y² + z² ⇒ x + z = 2 (1)

IA² = IC² ⇒ (x-2)²  + y² + (z-1)² = (x-1)²  + (y-1)² + (z-1)² ⇒ x – y = 1 (2)

Do tâm của mặt cầu thuộc mặt phẳng (P) NÊN: x + y + z – 2 = 0 (3)

Ta có hệ phương trình từ (1), (2) và (3). Khi đó ta giải được: x = 1, y = 0 và z = 1.

Vậy tâm I (1; 0; 1) và R² = IA² = 1

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (x-1)²  + y²  + (z-1)²  = 1.

 

Dạng 3: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm

Phương pháp: Gọi I (a; b; c) là tâm của mặt cầu. Vì mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D. Do đó ta có: IA = IB = IC = ID

Ví dụ: Mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A(2; 0; 0), B(1; 3; 0), C(-1; 0; 3) và D(1; 2; 3). Tính bán kính R của mặt cầu (S).

Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A(2; 0; 0); B(1; 3; 0), C(-1; 0; 3) và D(1; 2; 3). Do đó: IA² = IB² = IC² = ID², khi đó:

→ IA² = IB² ⇒ (a-2)²  + b²  + c² = (a-1)²  + (b-3)²  + c² ⇔ -2a + 6b = 6 ⇔ -a + 3b = 3 (1)

→ IA² = IC² ⇒ (a-2)²  + b²  + c² = (a+1)² + b² + (c-3)² ⇔ -6a + 6c = 6 ⇔ -a + c = 1 (2)

→ IB² = ID² ⇒ (a-1)²  + (b-3)²  + c² = (a-1)² + (b-2)² + (c-3)² ⇔ a + b = 1 (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: a=0, b=c=1

Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Thật ra bản chất của dạng toán viết phương trình của một mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó là mặt cầu đi qua 3 điểm và 4 điểm. Như vậy, để làm được dạng toán này, các bạn chỉ cần làm tương tự như dạng 3 là được.

KẾT LUẬN

Gia sư Thành Tâm hi vọng qua bài viết này các bạn sẽ tóm tắt tổng hợp được các dạng bài tập viết phương trình mặt cầu một cách logic và chi tiết nhất. Suy cho cùng để ghi nhớ được công thức, nắm vững từng chuyên đề kiến thức thì chỉ có cách là ghi chép và làm bài tập thật nhiều mà thôi. Không có “bí kíp thần thánh” nào cả!

Chúc các bạn thành công!

Mọi sự thắc mắc vui lòng liên hệ theo số hotline hoặc fanpage của chúng tôi để được giải đáp.

Trung tâm gia sư Thành Tâm mang đến chất lượng dịch vụ gia sư tốt nhất, chắp cánh cùng các tài năng Việt.

>>> Xem thêm:

Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ Nhất và Cách Nhớ Nguyên Hàm

[Tổng hợp] Công thức Hình Học lớp 12 “bức phá” kỳ thi THPT