[Chi tiết] Lý thuyết và cách chứng minh tam giác vuông lớp 7, 8, 9!

Tam giác vuông là gì? Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông (90°). Xoay quanh chuyên đề kiến thức về tam giác vuông có khá nhiều điều thú vị để các bạn khám phá. Bao gồm: các khái niệm, tính chất, định lý, cách chứng minh tam giác vuông,… Chúng có mối liên hệ qua lại với nhau, tạo nền tảng quan trọng để các bạn học tốt toán hình.

Ở bài viết này, gia sư Thành Tâm sẽ lần lượt giải đáp một cách chi tiết, dễ hiểu nhất các vấn đề lý thuyết và bài tập của tam giác vuông. Hãy cùng đọc và tham khảo nhé!

Tổng quan về tam giác vuông

Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.

Một tam giác vuông có:

• Cạnh huyền: Cạnh đối diện với góc vuông.
• Cạnh góc vuông: Là hai cạnh kề của góc vuông.
• Đường cao: là đường thẳng nối từ đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện.
• Đường trung tuyến: là đường thẳng nối từ đỉnh và đi qua trung điểm của cạnh đối diện.

Các định lý trong tam giác vuông

Tam giác vuông là một trong các tam giác đặc biệt, do vậy nó có những biểu thức tính nhanh về độ dài các cạnh, diện tích tam giác, độ dài đường cao, đường trung tuyến, bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp,…

Định lý Pytago (Tính độ dài cạnh)

Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng hai cạnh góc vuông. Cụ thể:

c² = a² + b²

Trong đó:

• a, b: là độ dài hai cạnh góc vuông
• c: là độ dài cạnh huyền

Ví dụ: Tam giác ABC vuông tại A, khi đó: BC² = AB²  + AC²

Công thức tính diện tích tam giác vuông

Diện tích tam giác vuông được tính bằng các công thức dưới đây:

S = 1/2 (a.b) = 1/2.c.h

Trong đó:

• a, b: Độ dài hai cạnh góc vuông.
• c: Độ dài cạnh huyền
• h: Độ dài chiều cao ứng với cạnh huyền.

Ví dụ: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, khi đó diện tích tam giác vuông ABC bằng:

S = 1/2.AB.AC = 1/2.AH.BC

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Gia sư dạy toán lý hóa 8 của Thành Tâm xin gửi đến các bạn một số công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông. Việc ghi nhớ, vận dụng thông thạo những công thức này sẽ giúp các bạn học tốt cả về hình học phẳng và hình học không gian (lớp 11, 12).

Cụ thể:

• AC² = HC.BC
• AB² = HB.HC
• AH.BC = AB.BC
• 1/AH² = 1/AB² + 1/AC²
• BC² = AB² + AC²

Đường cao trong tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Đường trung tuyến trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông

• Tam giác có một góc vuông là tam giác vuông.
• Tam giác vuông có hai góc nhọn phụ nhau là tam giác vuông.
• Tam giác có bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh là tam giác vuông. (Định lý Pytago đảo)
• Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy là tam giác vuông.
• Tam giác nội tiếp đường tròn có một cạnh là đường kính là tam giác vuông.

Cách chứng minh tam giác vuông

Chứng minh tam giác vuông hay chứng minh bất kỳ loại hình học nào cũng vậy, thông thường các bạn dựa vào dấu hiệu nhận biết của chúng để chứng minh.

Thông thường sẽ có 4 cách chứng minh tam giác vuông như sau:

• Cách 1: Dựa vào định lý Pytago đảo: Tam giác có bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh là tam giác vuông.

 Ví dụ: Tam giác ABC có: BC² = AB²  + AC² thì tam giác ABC vuông tại A

• Cách 2: Tam giác có hai góc phụ nhau (Tổng hai góc nhọn trong một tam giác là 90º)

Ví dụ: Tam giác ABC có góc A + B = 90º thì tam giác ABC vuông tại C.

• Cách 3: Chứng minh đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

Ví dụ: Tam giác ABC có M là trung điểm của cạnh BC và AM = 1/2BC ⇒ Tam giác ABC vuông tại A.

• Cách 4: Chứng minh tam giác đó nội tiếp đường tròn và có một cạnh là đường kính của đường tròn.

Ví dụ: Tam giá ABC nội tiếp đường tròn (O) và có cạnh BC là đường kính (BC=2R) ⇒ Tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

Bài tập chứng minh tam giác vuông

Bài 1: Cho tam giác ABC có BC = 8cm, AC = 17cm và BC = 8cm.

a/ Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.

b/ Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, sao cho BD = 8cm. Tính độ dài AD và chứng minh AD = BC.

Bài 2: Cho tam giác vuông ABC có AB = 5cm, AC = 12cm, BC = 13cm.

a/ Chứng minh tam giác ABC vuông tại A và tính độ dài đường cao AH.

b/ Kẻ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc với AC tại F. Chứng minh: AE.AB = AF.AC

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết HB = 3,6cm, HC = 6.4cm.

a/ Tính độ dài cạnh AB, AC và AH.

b/ Kẻ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc với AC tại F. Chứng minh: AE.AB = AF.AC

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ H kẻ HD và HE lần lượt vuông góc với AC. Vẽ trung tuyến AM.

Chứng minh:

a/ DE = AH

b/ Góc BAM = góc DAM, góc ADM = góc ACB

c/ AM vuông góc với DE

KẾT LUẬN:

Gia sư toán lớp 7 của Thành Tâm hi vọng qua bài viết này, các bạn sẽ lần lượt giải đáp được những thắc mắc của mình về lý thuyết, bài tập và cách chứng minh tam giác vuông chi tiết nhất. Mỗi chuyên đề kiến thức điều có những điều thú vị và “điểm” khó riêng. Toán học là môn có tính kế thừa, do vậy, các bạn nên học chắc và nắm vững kiến thức.

Đến đây, sẽ có nhiều bạn thắc mắc: “Có cách nào để nhớ nhanh các công thức hệ thức lượng và định lý trong tam giác vuông không?” Câu trả lời là không. Mỗi bạn sẽ có một phương pháp học riêng và phải làm bài tập thật nhiều thì mới ghi nhớ được công thức.

Chúc các bạn học tốt!

Mọi chi tiết và thắc mắc vui lòng liên hệ về số hotline 0374771705 hoặc fanpage để được tư vấn và hướng dẫn.

TRUNG TÂM GIA SƯ THÀNH TÂM – NƠI CUNG CẤP GIA SƯ CHẤT LƯỢNG HÀNG ĐẦU TẠI HCM

Văn phòng đại diện: 35/52 Đường 44, Phường Hiệp Bình Chánh, Quận Thủ Đức

HOTLINE: 0374771705 (Cô Tâm)

>>> Xem thêm: [A-Z] Bài tập & Cách giải Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn