Việc nắm vững công thức tính phương trình mặt cầu là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán hình học không gian phức tạp. Dù bạn là học sinh phổ thông hay đang tìm hiểu sâu hơn về toán học, bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện và dễ hiểu về các dạng phương trình mặt cầu, cùng với các phương pháp giải bài tập điển hình nhất. Hãy cùng Gia Sư Thành Tâm khám phá để chinh phục kiến thức quan trọng này!
Định Nghĩa và Bản Chất Của Mặt Cầu Trong Hình Học Không Gian
Mặt cầu, một trong những hình khối cơ bản và quan trọng nhất trong hình học không gian, có vai trò thiết yếu trong nhiều lĩnh vực từ toán học thuần túy đến các ứng dụng thực tiễn trong vật lý và kỹ thuật. Việc hiểu rõ bản chất và định nghĩa của nó là nền tảng để tiếp cận các công thức tính phương trình mặt cầu một cách hiệu quả.
Mặt Cầu Là Gì? Những Khái Niệm Cơ Bản Cần Nắm Vững
Theo chương trình hình học phổ thông, mặt cầu được định nghĩa là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách đều một điểm cố định cho trước một khoảng không đổi. Điểm cố định đó được gọi là tâm mặt cầu, và khoảng cách không đổi được gọi là bán kính mặt cầu, ký hiệu là R. Ví dụ, nếu tâm là điểm I và bán kính là R, thì mọi điểm M trên mặt cầu sẽ thỏa mãn IM = R.
Ngoài ra, mặt cầu còn có thể được hình dung thông qua phép quay mặt tròn xoay. Khi quay một đường tròn quanh một đường kính của chính nó, bề mặt mà đường tròn đó tạo ra chính là một mặt cầu. Cách định nghĩa này giúp ta dễ dàng hình dung hơn về cấu trúc đối xứng hoàn hảo của mặt cầu trong không gian ba chiều.
Lịch Sử và Ứng Dụng Của Mặt Cầu Trong Khoa Học
Khái niệm về mặt cầu đã tồn tại từ thời Hy Lạp cổ đại, được các nhà toán học vĩ đại như Euclid và Archimedes nghiên cứu sâu sắc. Archimedes đặc biệt nổi tiếng với công trình về thể tích và diện tích mặt cầu, ông đã chứng minh rằng thể tích của một hình cầu bằng 2/3 thể tích hình trụ ngoại tiếp nó. Những khám phá ban đầu này đã đặt nền móng cho việc phát triển các công thức tính phương trình mặt cầu sau này.
Trong khoa học và kỹ thuật hiện đại, mặt cầu có vô số ứng dụng. Chúng ta thấy mặt cầu trong mô hình các hành tinh, trong kiến trúc (như mái vòm), trong công nghệ (ví dụ: lens quang học, vòng bi), và trong y học (mô hình tế bào, các khớp xương). Sự phổ biến này khẳng định tầm quan trọng của việc hiểu các tính chất hình học và phương trình đại số của mặt cầu.
Các Dạng Phương Trình Mặt Cầu Phổ Biến và Công Thức Liên Quan
Khi làm việc với mặt cầu trong hệ tọa độ Oxyz, chúng ta sẽ gặp hai dạng phương trình chính, mỗi dạng có những ưu điểm và cách ứng dụng riêng. Việc nắm vững cả hai dạng và biết cách chuyển đổi giữa chúng là kỹ năng cơ bản để áp dụng công thức tính phương trình mặt cầu hiệu quả.
Công Thức Tính Phương Trình Mặt Cầu Dạng Tổng Quát
Phương trình mặt cầu dạng tổng quát thường có cấu trúc:
$x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$ (1)
Điều kiện để phương trình này biểu diễn một mặt cầu là $a^2 + b^2 + c^2 – d > 0$.
Nếu điều kiện này được thỏa mãn, tâm của mặt cầu I sẽ có tọa độ (a; b; c), và bán kính R của mặt cầu sẽ được tính bằng công thức: $R = sqrt{a^2 + b^2 + c^2 – d}$.
Dạng tổng quát này rất hữu ích khi ta cần xác định xem một phương trình cho trước có phải là phương trình mặt cầu hay không, hoặc khi mặt cầu đi qua nhiều điểm.
Điều kiện để phương trình mặt cầu dạng tổng quát tồn tại.
Dạng phương trình tổng quát của một mặt cầu.
Cách tính bán kính R từ phương trình mặt cầu tổng quát.
Công Thức Tính Phương Trình Mặt Cầu Dạng Chính Tắc
Nếu ta đã biết tâm I(a; b; c) và bán kính R của mặt cầu, chúng ta có thể dễ dàng viết phương trình mặt cầu ở dạng chính tắc. Dạng này biểu diễn khoảng cách từ mọi điểm trên mặt cầu đến tâm là không đổi, bằng R.
Công thức phương trình mặt cầu dạng chính tắc là:
$(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2$
Dạng chính tắc này đặc biệt tiện lợi khi ta cần tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu một cách trực tiếp, hoặc khi đề bài cung cấp sẵn tâm và bán kính. Nó thể hiện rõ ràng định nghĩa của mặt cầu: tập hợp các điểm cách đều tâm một khoảng R.
^{2} + (y – b)^{2} + (z – c)^{^{2}} = R^{2})
Phương trình mặt cầu dạng chính tắc với tâm I(a;b;c) và bán kính R.
Mối Liên Hệ Giữa Dạng Tổng Quát và Dạng Chính Tắc
Hai dạng phương trình này có thể chuyển đổi qua lại lẫn nhau. Khi khai triển phương trình chính tắc $(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2$, ta sẽ thu được:
$x^2 – 2ax + a^2 + y^2 – 2by + b^2 + z^2 – 2cz + c^2 = R^2$
Sắp xếp lại các hạng tử, ta được:
$x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + (a^2 + b^2 + c^2 – R^2) = 0$
Đây chính là dạng tổng quát, với $d = a^2 + b^2 + c^2 – R^2$. Ngược lại, từ phương trình tổng quát, ta có thể hoàn thiện bình phương để đưa về dạng chính tắc, từ đó xác định tâm và bán kính R. Sự liên hệ này là rất quan trọng để linh hoạt giải quyết các bài toán liên quan đến công thức tính phương trình mặt cầu.
Vị Trí Tương Đối: Mặt Cầu Với Mặt Phẳng và Đường Thẳng
Việc xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và các đối tượng hình học khác như mặt phẳng hay đường thẳng là một phần quan trọng trong việc áp dụng công thức tính phương trình mặt cầu. Điều này giúp chúng ta không chỉ tìm ra phương trình mà còn hiểu được cách mặt cầu tương tác trong không gian ba chiều.
Công Thức Tính Khoảng Cách Từ Tâm Mặt Cầu Đến Mặt Phẳng
Để xét vị trí tương đối giữa một mặt cầu (S) và một mặt phẳng (P), chúng ta cần so sánh khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P), ký hiệu là $d(I, (P))$, với bán kính R của mặt cầu.
Cho mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R.
Mặt phẳng (P) có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$.
Công thức tính khoảng cách $d(I, (P))$ là:
$d(I, (P)) = frac{|A cdot a + B cdot b + C cdot c + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Dựa vào giá trị của $d(I, (P))$ so với R, ta có ba trường hợp:
- Nếu $d(I, (P)) > R$: Mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S).
- Nếu $d(I, (P)) = R$: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại một điểm duy nhất, gọi là tiếp điểm. Mặt phẳng (P) được gọi là tiếp diện của mặt cầu.
- Nếu $d(I, (P)) < R$: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một giao tuyến là một đường tròn. Tâm của đường tròn giao tuyến là hình chiếu của tâm I lên mặt phẳng (P), và bán kính đường tròn giao tuyến $r = sqrt{R^2 – d^2(I, (P))}$.
) =frac{left | A.a+B.b+C.c+D right |}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}})
Cách tính khoảng cách từ tâm mặt cầu I đến mặt phẳng (P).
Điều Kiện Tiếp Xúc Của Mặt Cầu Với Đường Thẳng
Tương tự như mặt phẳng, ta cũng có thể xét vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng. Để làm điều này, ta so sánh khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng với bán kính của mặt cầu. Nếu khoảng cách này bằng bán kính, đường thẳng đó sẽ là tiếp tuyến của mặt cầu.
Cụ thể, nếu $d(I, Delta) = R$, thì đường thẳng $Delta$ tiếp xúc với mặt cầu (S). Khi đó, tọa độ tiếp điểm H chính là hình chiếu vuông góc của tâm I lên đường thẳng $Delta$. Vectơ $vec{IH}$ sẽ vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng $Delta$. Việc tìm tọa độ H và viết phương trình đường thẳng tiếp xúc đòi hỏi áp dụng các kiến thức về vectơ và hình chiếu trong không gian, làm phong phú thêm ứng dụng của công thức tính phương trình mặt cầu.
Tổng Hợp Các Công Thức Tính Phương Trình Mặt Cầu Theo Dạng Bài Tập
Việc áp dụng công thức tính phương trình mặt cầu đòi hỏi sự linh hoạt trong việc xác định các yếu tố cơ bản như tâm và bán kính. Dưới đây là tổng hợp các dạng bài tập phổ biến cùng với phương pháp giải chi tiết, giúp bạn dễ dàng tiếp cận và giải quyết các bài toán liên quan.
Dạng 1: Viết Công Thức Tính Phương Trình Mặt Cầu Khi Biết Tâm và Bán Kính
Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, là nền tảng cho mọi bài toán khác. Khi biết tâm I(a; b; c) và bán kính R, bạn có thể ngay lập tức viết phương trình mặt cầu.
Phương pháp giải:
- Cách 1: Sử dụng dạng chính tắc.
- Bước 1: Xác định tọa độ tâm I(a; b; c).
- Bước 2: Xác định bán kính R.
- Bước 3: Thay trực tiếp vào công thức tính phương trình mặt cầu dạng chính tắc: $(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2$.
- Cách 2: Sử dụng dạng tổng quát.
- Bước 1: Viết phương trình mặt cầu dạng tổng quát: $x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$.
- Bước 2: Với tâm I(a; b; c) và bán kính R, ta có $d = a^2 + b^2 + c^2 – R^2$. Thay giá trị a, b, c, d vào phương trình tổng quát.
Ví dụ minh họa: Cho đường kính AB, với A(2; 1; 3) và B(0; -3; 1). Hãy tìm công thức tính phương trình mặt cầu này.
Giải:
Tâm I của mặt cầu là trung điểm của AB. Tọa độ I là:
$I_x = (2+0)/2 = 1$
$I_y = (1-3)/2 = -1$
$I_z = (3+1)/2 = 2$
Vậy tâm I(1; -1; 2).
Bán kính R là nửa độ dài đường kính AB.
$AB = sqrt{(0-2)^2 + (-3-1)^2 + (1-3)^2} = sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = sqrt{4 + 16 + 4} = sqrt{24} = 2sqrt{6}$.
Vậy $R = AB/2 = sqrt{6}$.
Công thức tính phương trình mặt cầu dạng chính tắc là:
$(x – 1)^2 + (y – (-1))^2 + (z – 2)^2 = (sqrt{6})^2$
$(x – 1)^2 + (y + 1)^2 + (z – 2)^2 = 6$.
Hình ảnh bài toán tìm phương trình mặt cầu từ đường kính AB.
Minh họa giải pháp cho ví dụ về phương trình mặt cầu biết đường kính AB.
Dạng 2: Viết Công Thức Tính Phương Trình Mặt Cầu Khi Biết Tâm và Một Điểm Đi Qua
Trong dạng này, bạn đã biết tâm mặt cầu nhưng chưa biết bán kính. Điểm mà mặt cầu đi qua sẽ giúp xác định bán kính.
Phương pháp giải:
- Bước 1: Xác định tâm I(a; b; c).
- Bước 2: Tính bán kính R. R chính là khoảng cách từ tâm I đến điểm A(x; y; z) mà mặt cầu đi qua. Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm: $R = IA = sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2}$.
- Bước 3: Áp dụng phương pháp giải của Dạng 1 để viết công thức tính phương trình mặt cầu.
Ví dụ minh họa: Cho mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; -3) và đi qua điểm A(1; 0; 4). Viết công thức tính phương trình mặt cầu (S) đó.
Giải:
Tâm I(1; 2; -3).
Bán kính R = IA = $sqrt{(1-1)^2 + (0-2)^2 + (4-(-3))^2} = sqrt{0^2 + (-2)^2 + 7^2} = sqrt{0 + 4 + 49} = sqrt{53}$.
Phương trình mặt cầu (S) là:
$(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z – (-3))^2 = (sqrt{53})^2$
$(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z + 3)^2 = 53$.
Giải pháp chi tiết cho ví dụ về phương trình mặt cầu đi qua một điểm.
Dạng 3: Xác Định Phương Trình Mặt Cầu Ngoại Tiếp Tứ Diện
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là mặt cầu đi qua tất cả bốn đỉnh của tứ diện. Việc tìm công thức tính phương trình mặt cầu này đòi hỏi lập hệ phương trình.
Phương pháp giải:
- Bước 1: Gọi I(x; y; z) là tâm của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
- Bước 2: Lập luận rằng vì (S) ngoại tiếp tứ diện, nên khoảng cách từ tâm I đến bốn đỉnh A, B, C, D phải bằng nhau và bằng bán kính R. Do đó, ta có hệ phương trình: $IA^2 = IB^2 = IC^2 = ID^2$. Điều này dẫn đến ba phương trình độc lập:
- $IA^2 = IB^2$
- $IB^2 = IC^2$
- $IC^2 = ID^2$
Giải hệ phương trình này để tìm x, y, z.
- Bước 3: Sau khi tìm được tọa độ tâm I, tính bán kính R bằng cách tính khoảng cách từ I đến một trong các đỉnh (ví dụ: $R = IA$).
- Bước 4: Áp dụng Dạng 1 để viết công thức tính phương trình mặt cầu.
Công thức phương pháp viết phương trình mặt cầu S ngoại tiếp tứ diện
Dạng 4: Lập Phương Trình Mặt Cầu Qua Ba Điểm Với Tâm Thuộc Mặt Phẳng Cho Trước
Dạng này là biến thể của bài toán tìm tâm mặt cầu, có thêm điều kiện về vị trí của tâm.
Phương pháp giải:
- Bước 1: Gọi tâm mặt cầu I(a; b; c). Vì I thuộc mặt phẳng (P): $Ax + By + Cz + D = 0$, nên tọa độ của I phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng: $A cdot a + B cdot b + C cdot c + D = 0$. Đây là phương trình thứ nhất.
- Bước 2: Vì mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C, ta có $IA^2 = IB^2 = IC^2$. Từ đó lập thêm hai phương trình nữa:
- $IA^2 = IB^2$
- $IB^2 = IC^2$
- Bước 3: Giải hệ ba phương trình để tìm a, b, c (tọa độ tâm I).
- Bước 4: Tính bán kính R (ví dụ $R = IA$) và viết công thức tính phương trình mặt cầu.
Minh họa hệ phương trình để tìm tâm mặt cầu khi biết ba điểm và tâm thuộc một mặt phẳng.
Dạng 5: Cách Viết Công Thức Tính Phương Trình Mặt Cầu Đi Qua Bốn Điểm
Dạng này tương tự như dạng ngoại tiếp tứ diện, nhưng tổng quát hơn, không nhất thiết là tứ diện.
Phương pháp giải:
- Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu dạng tổng quát là $x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$.
- Bước 2: Thay tọa độ của bốn điểm A, B, C, D vào phương trình tổng quát. Mỗi điểm sẽ cho ta một phương trình. Ta sẽ có một hệ bốn phương trình tuyến tính với bốn ẩn a, b, c, d.
- Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm a, b, c, d.
- Bước 4: Với các giá trị a, b, c, d tìm được, ta đã có công thức tính phương trình mặt cầu dạng tổng quát. Từ đó có thể tìm tâm và bán kính nếu cần.
Ví dụ giải chi tiết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm khác nhau.
Dạng 6: Lập Phương Trình Mặt Cầu Khi Biết Hai Điểm Là Đường Kính
Đây là một dạng bài tập phổ biến khác, cho phép bạn dễ dàng xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
Phương pháp giải:
- Bước 1: Tìm tâm I của mặt cầu. Tâm I chính là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm A và B, với A và B là hai đầu mút của đường kính. Sử dụng công thức tính tọa độ trung điểm.
- Bước 2: Tính bán kính R của mặt cầu. Bán kính R bằng nửa độ dài đoạn AB, hoặc khoảng cách từ tâm I đến một trong hai điểm A hoặc B. $R = IA = IB = AB/2$.
- Bước 3: Áp dụng phương pháp giải của Dạng 1 để viết công thức tính phương trình mặt cầu.
Minh họa giải bài tập phương trình mặt cầu có đường kính AB.
Dạng 7: Tìm Điều Kiện Để Phương Trình Là Mặt Cầu – Các Trường Hợp Đặc Biệt
Dạng bài này yêu cầu bạn xác định các tham số (thường là ‘m’) để một phương trình cho trước thực sự là phương trình của một mặt cầu.
Phương pháp giải:
- Bước 1: Đưa phương trình về dạng tổng quát $x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$.
- Bước 2: Xác định các hệ số a, b, c, d từ phương trình. Lưu ý rằng các hệ số này có thể chứa tham số ‘m’.
- Bước 3: Áp dụng điều kiện để một phương trình là phương trình mặt cầu: $a^2 + b^2 + c^2 – d > 0$.
- Bước 4: Giải bất phương trình với tham số ‘m’ để tìm ra các giá trị của ‘m’ thỏa mãn điều kiện.
Ví dụ minh họa: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm m để phương trình $x^2 + y^2 + z^2 + 2x – 4y + 4z + m = 0$ là một phương trình mặt cầu.
Giải:
Phương trình đã cho có dạng $x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$.
So sánh, ta có:
$-2a = 2 Rightarrow a = -1$
$-2b = -4 Rightarrow b = 2$
$-2c = 4 Rightarrow c = -2$
$d = m$
Điều kiện để đây là phương trình mặt cầu là $a^2 + b^2 + c^2 – d > 0$.
Thay các giá trị vào:
$(-1)^2 + (2)^2 + (-2)^2 – m > 0$
$1 + 4 + 4 – m > 0$
$9 – m > 0$
$m < 9$.
Vậy, để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu, giá trị của m phải nhỏ hơn 9.
Bất đẳng thức cơ bản để kiểm tra phương trình mặt cầu.
Phân tích và giải ví dụ về tìm điều kiện của m để phương trình là mặt cầu.
Sai Lầm Thường Gặp Khi Áp Dụng Công Thức Tính Phương Trình Mặt Cầu
Trong quá trình học và giải bài tập về công thức tính phương trình mặt cầu, học sinh thường mắc phải một số sai lầm cơ bản. Việc nhận diện và tránh những lỗi này sẽ giúp nâng cao độ chính xác và hiệu quả trong giải toán.
Một trong những sai lầm phổ biến nhất là quên kiểm tra điều kiện tồn tại của mặt cầu khi làm việc với dạng tổng quát. Nhiều bạn chỉ đơn thuần xác định a, b, c, d mà không kiểm tra xem $a^2 + b^2 + c^2 – d$ có thực sự lớn hơn 0 hay không. Nếu giá trị này bằng 0, phương trình sẽ biểu diễn một điểm, còn nếu nhỏ hơn 0, phương trình không biểu diễn hình học nào cả.
Thứ hai là việc nhầm lẫn giữa các dấu khi chuyển đổi từ dạng chính tắc sang tổng quát hoặc ngược lại. Ví dụ, khi có $(x – a)^2$, nhiều bạn có thể nhầm dấu và viết thành $x^2 + 2ax + a^2$ thay vì $x^2 – 2ax + a^2$. Tương tự, việc xác định tọa độ tâm từ dạng tổng quát cũng cần chú ý dấu của các hệ số $a, b, c$ (ví dụ: $-2ax$ thì $a$ là số dương).
Ngoài ra, việc tính toán khoảng cách hoặc độ dài đoạn thẳng thường có thể sai sót do nhầm lẫn công thức hoặc lỗi tính toán cơ bản. Đặc biệt khi phải giải hệ phương trình nhiều ẩn, cần hết sức cẩn thận để tránh những sai lầm nhỏ dẫn đến kết quả cuối cùng không chính xác. Luôn nhớ rằng mỗi bước trong việc áp dụng công thức tính phương trình mặt cầu đều quan trọng và cần được thực hiện một cách tỉ mỉ.
Toàn bộ lý thuyết, các công thức tính phương trình mặt cầu và phương pháp giải các dạng bài tập thường gặp đã được Gia Sư Thành Tâm tổng hợp và trình bày chi tiết trong bài viết này. Hy vọng rằng, những kiến thức này sẽ giúp các em học sinh củng cố và bổ sung thêm những phần còn thiếu, từ đó tự tin hơn khi giải quyết các bài toán về mặt cầu. Hãy luôn thực hành và luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức, chinh phục môn Toán hiệu quả!
Câu Hỏi Thường Gặp (FAQs)
-
Mặt cầu là gì và làm thế nào để xác định nó trong không gian?
Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách đều một điểm cố định (tâm) một khoảng không đổi (bán kính). Để xác định nó, bạn cần biết tọa độ tâm I(a; b; c) và giá trị bán kính R. -
Có bao nhiêu dạng chính của công thức tính phương trình mặt cầu?
Có hai dạng chính: dạng tổng quát ($x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$) và dạng chính tắc ($(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2$). -
Làm thế nào để chuyển đổi giữa dạng tổng quát và dạng chính tắc của phương trình mặt cầu?
Để chuyển từ chính tắc sang tổng quát, bạn khai triển bình phương. Để chuyển từ tổng quát sang chính tắc, bạn hoàn thiện bình phương các biểu thức chứa x, y, z để tìm tâm và bán kính. -
Điều kiện để một phương trình bậc hai là phương trình mặt cầu là gì?
Đối với phương trình $x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$, điều kiện là $a^2 + b^2 + c^2 – d > 0$. -
Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng được tính bằng công thức nào?
Khoảng cách $d(I, (P)) = frac{|A cdot a + B cdot b + C cdot c + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$, trong đó I(a; b; c) là tâm mặt cầu và $Ax + By + Cz + D = 0$ là phương trình mặt phẳng. -
Khi nào mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu?
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) khi khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P) bằng với bán kính R của mặt cầu, tức là $d(I, (P)) = R$. -
Làm sao để tìm phương trình mặt cầu khi biết nó đi qua bốn điểm?
Bạn có thể gọi phương trình mặt cầu ở dạng tổng quát $x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$, sau đó thay tọa độ của bốn điểm vào để lập một hệ bốn phương trình tuyến tính với bốn ẩn a, b, c, d và giải hệ đó. -
Những sai lầm phổ biến khi giải bài tập về phương trình mặt cầu là gì?
Các sai lầm phổ biến bao gồm quên kiểm tra điều kiện tồn tại của mặt cầu ($a^2 + b^2 + c^2 – d > 0$), nhầm lẫn dấu khi khai triển hoặc hoàn thiện bình phương, và sai sót trong tính toán khoảng cách.
