Cách tính thể tích khối tứ diện là một trong những kiến thức cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong hình học không gian, đặc biệt là đối với học sinh trung học phổ thông. Việc nắm vững các công thức và phương pháp giải giúp các em không chỉ vượt qua các kỳ thi một cách dễ dàng mà còn phát triển tư duy hình học sâu sắc. Bài viết này của Gia Sư Thành Tâm sẽ tổng hợp và trình bày chi tiết các cách tính thể tích khối tứ diện từ tổng quát đến các trường hợp đặc biệt, kèm theo các ví dụ minh họa cụ thể, giúp bạn đọc tiếp cận kiến thức một cách hiệu quả và tự tin hơn.
Khối tứ diện là gì? Định nghĩa và các dạng cơ bản
Trước khi đi sâu vào các cách tính thể tích khối tứ diện, chúng ta cần hiểu rõ về bản chất của hình khối này. Khối tứ diện là một dạng đặc biệt của khối đa diện, được tạo thành từ bốn mặt là các tam giác, bốn đỉnh và sáu cạnh. Đây là khối đa diện đơn giản nhất trong hình học Euclid.
Cấu tạo và đặc điểm của khối tứ diện
Một khối tứ diện được xác định bởi bốn điểm không đồng phẳng. Nếu gọi bốn điểm đó là A, B, C, D, thì khối tứ diện sẽ có bốn mặt là các tam giác ABC, ABD, ACD, BCD; sáu cạnh là AB, AC, AD, BC, BD, CD; và bốn đỉnh A, B, C, D. Mọi mặt của khối tứ diện đều là tam giác, đây là một đặc điểm cơ bản giúp phân biệt nó với các loại khối đa diện khác. Trong toán học, khối tứ diện còn được gọi là hình chóp tam giác.
Các loại khối tứ diện thường gặp
Trong hình học, có nhiều dạng khối tứ diện khác nhau, mỗi loại mang những đặc điểm riêng biệt và có những cách tính thể tích riêng. Các dạng phổ biến bao gồm:
- Khối tứ diện đều: Tất cả sáu cạnh đều có độ dài bằng nhau, và tất cả các mặt là tam giác đều.
- Khối tứ diện vuông: Có một đỉnh mà ba cạnh xuất phát từ đỉnh đó đôi một vuông góc với nhau.
- Khối tứ diện gần đều (hay tứ diện trực tâm): Các cặp cạnh đối diện có độ dài bằng nhau.
- Khối tứ diện trực giao: Các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.
Việc nhận biết chính xác loại khối tứ diện sẽ giúp chúng ta lựa chọn công thức tính thể tích phù hợp và nhanh chóng.
Công thức tổng quát tính thể tích khối tứ diện bất kỳ
Đối với một khối tứ diện bất kỳ, khi biết độ dài của tất cả sáu cạnh, chúng ta có thể sử dụng công thức tổng quát để tính thể tích. Đây là công thức khá phức tạp nhưng mang lại kết quả chính xác cho mọi trường hợp.
Công thức tính thể tích khối tứ diện $ABCD$ có $BC=a, CA=b, AB=c, AD=d, BD=e, CD=f$ như sau:
$V=dfrac{1}{12}sqrt{M+N+P-Q},$
trong đó
$M={{a}^{2}}{{d}^{2}}({{b}^{2}}+{{e}^{2}}+{{c}^{2}}+{{f}^{2}}-{{a}^{2}}-{{d}^{2}})$
$N={{b}^{2}}{{e}^{2}}({{a}^{2}}+{{d}^{2}}+{{c}^{2}}+{{f}^{2}}-{{b}^{2}}-{{e}^{2}})$
$P={{c}^{2}}{{f}^{2}}({{a}^{2}}+{{d}^{2}}+{{b}^{2}}+{{e}^{2}}-{{c}^{2}}-{{f}^{2}})$
$Q={{(abc)}^{2}}+{{(aef)}^{2}}+{{(bdf)}^{2}}+{{(cde)}^{2}}$
Giải thích chi tiết các thành phần công thức
Công thức trên, còn được biết đến là công thức Heron mở rộng cho tứ diện (hoặc công thức Cayley-Menger), đòi hỏi sự kiên nhẫn trong việc thay thế và tính toán. Các biến $a, b, c, d, e, f$ lần lượt đại diện cho độ dài của sáu cạnh của khối tứ diện. Các biểu thức $M, N, P, Q$ là các đại lượng trung gian được hình thành từ bình phương độ dài các cạnh và tổ hợp của chúng. Dù phức tạp, công thức này đảm bảo độ chính xác tuyệt đối khi các thông số đầu vào được cung cấp đầy đủ và chính xác. Đây là một cách tính thể tích khối tứ diện mang tính học thuật cao, ít được sử dụng trong các bài toán phổ thông nhưng rất quan trọng trong lý thuyết.
Ứng dụng của công thức Heron cho tứ diện
Mặc dù ít được sử dụng trong thực hành do độ phức tạp, công thức này có ý nghĩa lý thuyết quan trọng, cho thấy rằng thể tích khối tứ diện được xác định duy nhất bởi độ dài các cạnh của nó. Trong một số trường hợp, công thức này có thể được đơn giản hóa nếu có thêm các điều kiện đặc biệt về tứ diện. Ví dụ, nếu khối tứ diện có các cạnh đối bằng nhau (tứ diện gần đều), công thức sẽ trở nên gọn gàng hơn nhiều. Việc hiểu về công thức tổng quát này mở ra một cái nhìn sâu sắc về cấu trúc hình học của khối tứ diện.
Cách tính thể tích khối tứ diện đều
Khối tứ diện đều là một trong những dạng đặc biệt và đẹp nhất của tứ diện, nổi bật với tính đối xứng cao. Việc tính thể tích khối tứ diện đều trở nên đơn giản hơn rất nhiều so với công thức tổng quát.
Đặc điểm của tứ diện đều
Một khối tứ diện được gọi là đều khi tất cả sáu cạnh của nó có độ dài bằng nhau, và do đó, tất cả bốn mặt của nó đều là các tam giác đều. Đây là một đa diện lồi, và nó cũng là một hình chóp tam giác đều với đáy là tam giác đều. Đối với khối tứ diện đều cạnh $a$, công thức tính thể tích được rút gọn đáng kể:
$V=dfrac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{12}.$
Công thức này rất hữu ích và thường xuyên xuất hiện trong các bài toán thi cử vì sự đơn giản và dễ nhớ. Việc chỉ cần biết độ dài một cạnh là có thể xác định được toàn bộ thể tích khối tứ diện đều.
Ví dụ minh họa tính thể tích khối tứ diện đều
Ví dụ 1: Cho khối tứ diện đều có chiều cao bằng $h.$ Thể tích khối tứ diện đã cho là
A. $V=dfrac{sqrt{3}{{h}^{3}}}{4}$
B. $V=dfrac{sqrt{3}{{h}^{3}}}{8}$
C. $V=dfrac{sqrt{3}{{h}^{3}}}{3}$
D. $V=dfrac{2sqrt{3}{{h}^{3}}}{3}$
Giải. Thể tích tứ diện đều cạnh $a$ là $V=frac{sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}.$
Chiều cao tứ diện đều là $h=frac{3V}{S}=frac{3left( frac{sqrt{2}{{a}^{3}}}{12} right)}{frac{sqrt{3}{{a}^{2}}}{4}}=sqrt{frac{2}{3}}aRightarrow a=sqrt{frac{3}{2}}h.$
Vì vậy $V=frac{sqrt{2}}{12}{{left( sqrt{frac{3}{2}}h right)}^{3}}=frac{sqrt{3}{{h}^{3}}}{8}.$ Chọn đáp án B.
Cách tính thể tích khối tứ diện vuông (tại một đỉnh)
Khối tứ diện vuông là một dạng tứ diện đặc biệt khác, có ứng dụng trong nhiều bài toán hình học thực tế. Việc tính thể tích khối tứ diện vuông cũng có một công thức riêng rất tiện lợi.
Đặc trưng của tứ diện vuông
Một khối tứ diện $ABCD$ được gọi là vuông tại một đỉnh (ví dụ đỉnh $A$) nếu ba cạnh xuất phát từ đỉnh đó, $AB, AC, AD$, đôi một vuông góc với nhau. Điều này có nghĩa là $widehat{BAC} = widehat{BAD} = widehat{CAD} = 90^circ$. Trong trường hợp này, việc tính thể tích khối tứ diện trở nên cực kỳ đơn giản.
Với tứ diện $ABCD$ có $AB, AC, AD$ đôi một vuông góc và $AB=a, AC=b, AD=c,$ ta có $V=dfrac{1}{6}abc.$
Công thức này giống như công thức tính thể tích của một hình chóp tam giác vuông, với $a, b, c$ là độ dài ba cạnh góc vuông.
Ví dụ ứng dụng cách tính thể tích tứ diện vuông
Giả sử ta có một khối tứ diện $O.ABC$ với $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc tại $O$. Nếu $OA = 3 text{ cm}$, $OB = 4 text{ cm}$ và $OC = 5 text{ cm}$, thì thể tích khối tứ diện này sẽ là:
$V = dfrac{1}{6} times OA times OB times OC = dfrac{1}{6} times 3 times 4 times 5 = dfrac{60}{6} = 10 text{ cm}^3.$
Cách tính thể tích này rất nhanh và hiệu quả khi gặp các bài toán liên quan đến hình hộp chữ nhật hoặc các hình không gian có yếu tố vuông góc.
Cách tính thể tích khối tứ diện gần đều
Khối tứ diện gần đều, còn được gọi là tứ diện trực tâm, là một dạng tứ diện mà các cặp cạnh đối diện có độ dài bằng nhau. Cách tính thể tích khối tứ diện này có công thức riêng, ít phổ biến hơn nhưng rất mạnh mẽ khi áp dụng đúng trường hợp.
Nhận diện tứ diện gần đều
Một khối tứ diện $ABCD$ là gần đều nếu nó thỏa mãn điều kiện $AB=CD, BC=AD, AC=BD$. Tức là, ba cặp cạnh đối diện đều bằng nhau.
Với tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=a, BC=AD=b, AC=BD=c$ ta có
$V=dfrac{sqrt{2}}{12}.sqrt{({{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}})({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})({{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}})}.$
Minh họa khối tứ diện gần đều với các cặp cạnh đối diện bằng nhau
Các ví dụ cụ thể về tính thể tích tứ diện gần đều
Ví dụ 1: Cho khối tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=8, AD=BC=5$ và $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện đã cho bằng
A. $frac{sqrt{30}}{3}.$
B. $frac{20sqrt{11}}{3}.$
C. $sqrt{30}.$
D. $20sqrt{11}.$
Giải. Ta có ${{V}_{ABCD}}=frac{sqrt{2}}{12}sqrt{({{8}^{2}}+{{5}^{2}}-{{7}^{2}})({{5}^{2}}+{{7}^{2}}-{{8}^{2}})({{7}^{2}}+{{8}^{2}}-{{5}^{2}})}=frac{20sqrt{11}}{3}.$ Chọn đáp án B.
Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=8, AD=BC=5$ và $AC=BD=7.$ Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB.$ Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(CMD)$ bằng
A. $frac{sqrt{31}}{2}.$
B. $frac{sqrt{55}}{2}.$
C. $frac{sqrt{21}}{2}.$
D. $frac{sqrt{33}}{2}.$
Giải. Ta có ${{V}{AMCD}}=frac{AM}{AB}{{V}{ABCD}}=frac{1}{2}{{V}{ABCD}}=frac{sqrt{2}}{24}sqrt{({{8}^{2}}+{{5}^{2}}-{{7}^{2}})({{5}^{2}}+{{7}^{2}}-{{8}^{2}})({{7}^{2}}+{{8}^{2}}-{{5}^{2}})}=frac{10sqrt{11}}{3}.$
Tam giác $MCD$ có $CD=8$ và theo công thức đường trung tuyến ta có:
$MC=sqrt{frac{2(C{{A}^{2}}+C{{B}^{2}})-A{{B}^{2}}}{4}}=sqrt{frac{2({{7}^{2}}+{{5}^{2}})-{{8}^{2}}}{4}}=sqrt{21}.$
và $MD=sqrt{frac{2(D{{A}^{2}}+D{{B}^{2}})-A{{B}^{2}}}{4}}=sqrt{frac{2({{5}^{2}}+{{7}^{2}})-{{8}^{2}}}{4}}=sqrt{21}.$
Vậy ${{S}{MCD}}=4sqrt{5}.$ Do đó $d(A,(MCD))=frac{3{{V}{AMCD}}}{{{S}{MCD}}}=frac{10sqrt{11}}{4sqrt{5}}=frac{sqrt{55}}{2}.$ Chọn đáp án B.
Ví dụ 3: Khối tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=5a, AC=BD=6a, AD=BC=7a$ có thể tích bằng
A. $sqrt{95}{{a}^{3}}.$
B. $8sqrt{95}{{a}^{3}}.$
C. $2sqrt{95}{{a}^{3}}.$
D. $4sqrt{95}{{a}^{3}}.$
Giải. Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện gần đều có
${{V}_{ABCD}}=dfrac{sqrt{2}}{12}sqrt{left( {{5}^{2}}+{{6}^{2}}-{{7}^{2}} right)left( {{6}^{2}}+{{7}^{2}}-{{5}^{2}} right)left( {{7}^{2}}+{{5}^{2}}-{{6}^{2}} right)}{{a}^{3}}=2sqrt{95}{{a}^{3}}.$
Chọn đáp án C.
Cách tính thể tích khối tứ diện bằng khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối diện
Một cách tính thể tích khối tứ diện khác, rất linh hoạt và mạnh mẽ, là dựa vào độ dài hai cạnh đối diện, khoảng cách giữa chúng và góc giữa hai cạnh đó.
Ý nghĩa hình học của công thức
Đối với tứ diện $ABCD$ có $AD=a, BC=b, d(AD,BC)=d, (AD,BC)=alpha,$ ta có $V=dfrac{1}{6}abdsin alpha .$
Công thức này đặc biệt hữu ích khi chúng ta không biết tất cả các cạnh mà lại có thông tin về khoảng cách và góc giữa hai cạnh chéo nhau. Đây là một công cụ mạnh mẽ trong các bài toán hình học giải tích hoặc khi làm việc với các hệ tọa độ. $d(AD,BC)$ là khoảng cách ngắn nhất giữa hai đường thẳng chéo nhau $AD$ và $BC$, và $alpha$ là góc giữa hai đường thẳng đó.
Bài tập áp dụng cách tính thể tích này
Ví dụ 1: Cho khối tứ diện $ABCD$ có $AB=AC=BD=CD=1.$ Khi thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $BC$ bằng
A. $frac{2}{sqrt{3}}.$
B. $frac{1}{sqrt{3}}.$
C. $frac{1}{sqrt{2}}.$
D. $frac{1}{3}.$
(Lời giải chi tiết không được cung cấp trong bài gốc, nhưng dựa vào công thức, ta sẽ tìm cách tối đa hóa $abdsinalpha$ với các điều kiện cho trước).
Ví dụ 2: Cho hai mặt cầu $({{S}{1}}),({{S}{2}})$ có cùng tâm $I$ và bán kính lần lượt ${{R}{1}}=2,{{R}{2}}=sqrt{10}.$ Xét tứ diện $ABCD$ có hai đỉnh $A,B$ nằm trên $({{S}{1}});$ hai đỉnh $C,D$ nằm trên $({{S}{2}}).$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn nhất bằng
A. $3sqrt{2}.$
B. $2sqrt{3}.$
C. $6sqrt{3}.$
D. $6sqrt{2}.$
Giải. Gọi $a,b$ lần lượt là khoảng cách từ tâm $I$ đến hai đường thẳng $AB,CD.$
Ta có $AB=2sqrt{R{1}^{2}-{{a}^{2}}}=2sqrt{4-{{a}^{2}}}; CD=2sqrt{R{2}^{2}-{{b}^{2}}}=2sqrt{10-{{b}^{2}}}$ và $d(AB,CD)le d(I,AB)+d(I,CD)=a+b$ và $sin (AB,CD)le 1.$
Do đó áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng cách chéo nhau của cặp cạnh đối diện có:
$begin{gathered} {V_{ABCD}} = frac{1}{6}AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD) leqslant frac{2}{3}(a + b)sqrt {4 – {a^2}} sqrt {10 – {b^2}} = frac{2}{3}left( {asqrt {4 – {a^2}} sqrt {10 – {b^2}} + bsqrt {10 – {b^2}} sqrt {4 – {a^2}} } right) = frac{2}{3}left( {sqrt {4{a^2} – {a^4}} sqrt {10 – {b^2}} + sqrt {frac{{10{b^2} – {b^4}}}{2}} sqrt {8 – 2{a^2}} } right) leqslant frac{2}{3}sqrt {left( {4{a^2} – {a^4} + 8 – 2{a^2}} right)left( {10 – {b^2} + frac{{10{b^2} – {b^4}}}{2}} right)} = frac{2}{3}sqrt {left( { – {{({a^2} – 1)}^2} + 9} right)left( { – frac{1}{2}{{({b^2} – 4)}^2} + 18} right)} leqslant frac{2}{3}sqrt {9.18} = 6sqrt 2 . end{gathered} $
Dấu bằng đạt tại $(a;b)=(1;2).$ Chọn đáp án D.
Ví dụ 3: Cho một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh bằng $a.$ Biết rằng $AB$ và $CD$ là hai đường kính tương ứng của hai đáy và góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng $30{}^circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$
A. $frac{{{a}^{3}}}{12}.$
B. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{6}.$
C. $frac{{{a}^{3}}}{6}.$
D. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{12}.$
Có $h=2r=a;{{V}_{ABCD}}=frac{1}{6}AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)=frac{1}{3}.2r.2r.h.sin {{30}^{0}}=frac{{{a}^{3}}}{6}.$ Chọn đáp án C.
Ví dụ 4: Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính $MN,text{ }PQ$ lần lượt trên hai đáy sao cho $MNbot PQ.$ Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua $3$ trong $4$ điểm $M,text{ }N,text{ }P,text{ }Q$ để thu được khối đá có hình tứ diện $MNPQ.$ Biết rằng thể tích khối tứ diện $MNPQ$ bằng $64text{ }d{{m}^{3}}.$ Tính thể tích của lượng đá bị cắt bỏ (làm tròn kết quả đến $1$ chữ số thập phân).
A. $86,8text{ }d{{m}^{3}}.$
B. $237,6text{ }d{{m}^{3}}.$
C. $338,6text{ }d{{m}^{3}}.$
D. $109,6text{ }d{{m}^{3}}.$
Giải. Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối ta có
${{V}{MNPQ}}=dfrac{1}{6}MN.PQ.dleft( MN,PQ right).sin left( MN,PQ right)=dfrac{1}{6}.2r.2r.h.sin {{90}^{0}}=dfrac{2}{3}{{r}^{2}}h=dfrac{2}{3pi }V{{T}{T}}$
Thể tích lượng đá bị cắt bỏ là ${{V}{T}}-{{V}{MNPQ}}=left( dfrac{3pi }{2}-1 right){{V}_{MNPQ}}approx 237,6text{ d}{{text{m}}^{text{3}}}.$ Chọn đáp án B.
Cách tính thể tích khối tứ diện biết diện tích hai mặt kề nhau
Trong một số trường hợp, thông tin về diện tích các mặt của khối tứ diện có thể được sử dụng để tính thể tích.
Phương pháp và điều kiện áp dụng
Công thức này thường áp dụng cho các khối chóp nói chung (bao gồm cả tứ diện), khi biết diện tích của một mặt bên và mặt đáy, cùng với góc giữa hai mặt phẳng đó.
Đối với khối tứ diện $S.ABC$, ta có:
$V{S.ABC} = dfrac{2S{SAB} cdot S_{ABC} cdot sin((SAB), (ABC))}{3AB}.$
Công thức này có thể được tổng quát hóa, nhưng cơ bản nó liên quan đến việc biết diện tích hai mặt và góc nhị diện giữa chúng. Điều kiện áp dụng là phải xác định được hai mặt kề nhau, diện tích của chúng và góc giữa chúng.
Biểu đồ thể hiện mối liên hệ giữa diện tích hai mặt kề và thể tích khối tứ diện
Minh họa qua các ví dụ thực tế
Ví dụ 1: Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A, AB=a, widehat{SBA}=widehat{SCA}=90{}^circ,$ góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ bằng $60{}^circ .$ Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. ${{a}^{3}}.$
B. $frac{{{a}^{3}}}{3}.$
C. $frac{{{a}^{3}}}{2}.$
D. $frac{{{a}^{3}}}{6}.$
Giải. Gọi $H=mathbf{h/c(S,(ABC))}$ ta có $left{ begin{gathered} AB bot SB AB bot SH end{gathered} right. Rightarrow AB bot (SBH) Rightarrow AB bot BH;left{ begin{gathered} AC bot SC AC bot SH end{gathered} right. Rightarrow AC bot (SCH) Rightarrow AC bot CH.$ Kết hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A, AB=a$ suy ra $ABHC$ là hình vuông.
Đặt $h=SHRightarrow {{V}{S.ABC}}=frac{1}{3}{{S}{ABC}}.SH=frac{{{a}^{2}}h}{6}(1).$
Mặt khác ${{V}{S.ABC}}=frac{2{{S}{SAB}}.{{S}_{SAC}}.sin left( (SAB),(SAC) right)}{3SA}=frac{2left( frac{asqrt{{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}}{2} right)left( frac{asqrt{{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}}{2} right)frac{sqrt{3}}{2}}{3sqrt{2{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}}(2).$
Từ (1) và (2) suy ra $h=aRightarrow V=frac{{{a}^{3}}}{6}.$ Chọn đáp án D.
Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ có $widehat{ABC}=widehat{BCD}=widehat{CDA}={{90}^{0}},BC=a,CD=2a,cos left( (ABC),(ACD) right)=dfrac{sqrt{130}}{65}.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng
A. $frac{{{a}^{3}}}{3}.$
B. ${{a}^{3}}.$
C. $frac{2{{a}^{3}}}{3}.$
D. $3{{a}^{3}}.$
Giải. Gọi $H=mathbf{h/c(A,(BCD))}.$ Đặt $AH=hRightarrow {{V}{ABCD}}=frac{1}{3}{{S}{BCD}}.AH=frac{1}{3}.frac{1}{2}CB.CD.AH=frac{{{a}^{2}}h}{3}(1).$
Mô hình tứ diện ABCD với các góc vuông tại các đỉnh B, C, D
Ta có $left{ begin{gathered} CB bot BA CB bot AH end{gathered} right. Rightarrow CB bot (ABH) Rightarrow CB bot HB.$ Tương tự $left{ begin{gathered} CD bot DA CD bot AH end{gathered} right. Rightarrow CD bot (ADH) Rightarrow CD bot HD.$
Kết hợp với $widehat{BCD}={{90}^{0}}Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.
Suy ra $AB=sqrt{A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=sqrt{{{h}^{2}}+4{{a}^{2}}},AD=sqrt{A{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}}=sqrt{{{h}^{2}}+{{a}^{2}}};AC=sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=sqrt{{{h}^{2}}+5{{a}^{2}}}.$
Suy ra ${{S}{ABC}}=frac{1}{2}AB.BC=frac{asqrt{{{h}^{2}}+4{{a}^{2}}}}{2};{{S}{ACD}}=frac{1}{2}AD.DC=asqrt{{{h}^{2}}+{{a}^{2}}}.$
Suy ra ${{V}{ABCD}}=frac{2{{S}{ABC}}.{{S}{ACD}}.sin left( (ABC),(ACD) right)}{3AC}=frac{{{a}^{2}}sqrt{{{h}^{2}}+4{{a}^{2}}}sqrt{{{h}^{2}}+{{a}^{2}}}}{3sqrt{{{h}^{2}}+5{{a}^{2}}}}sqrt{1-{{left( frac{sqrt{130}}{65} right)}^{2}}}(2).$
Kết hợp (1), (2) suy ra: $h=3aRightarrow {{V}{ABCD}}={{a}^{3}}.$ Chọn đáp án B.
Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a,widehat{ABC}={{120}^{0}}.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và góc giữa hai mặt phẳng $(SBC),(SCD)$ bằng ${{60}^{0}},$ khi đó $SA$ bằng
A. $dfrac{sqrt{6}a}{4}.$
B. $sqrt{6}a.$
C. $dfrac{sqrt{6}a}{2}.$
D. $dfrac{sqrt{3}a}{2}.$
Có $SA=x>0Rightarrow {{V}{S.BCD}}=dfrac{1}{3}{{S}{BCD}}.SA=dfrac{sqrt{3}x}{12}(1),left( a=1 right).$
Mặt khác ${{V}{S.BCD}}=dfrac{2{{S}{SBC}}.{{S}{SCD}}.sin left( (SBC),(SCD) right)}{3SC}=dfrac{2{{left( dfrac{sqrt{4{{x}^{2}}+3}}{4} right)}^{2}}dfrac{sqrt{3}}{2}}{3sqrt{{{x}^{2}}+3}}(2).$
Trong đó $BC=1,SB=sqrt{{{x}^{2}}+1},SC=sqrt{{{x}^{2}}+3}Rightarrow {{S}{SBC}}=dfrac{sqrt{4{{x}^{2}}+3}}{4};Delta SBC=Delta SDC(c-c-c)Rightarrow {{S}_{SCD}}=dfrac{sqrt{4{{x}^{2}}+3}}{4}.$
Từ (1) và (2) suy ra $x=dfrac{sqrt{6}}{4}.$ Chọn đáp án A.
Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD$ có $ABC$ và $ABD$ là tam giác đều cạnh bằng $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn nhất bằng
A. $dfrac{{{a}^{3}}}{8}.$
B. $dfrac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{12}.$
C. $dfrac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{8}.$
D. $dfrac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{12}.$
Có ${{V}{ABCD}}=dfrac{2{{S}{ABC}}{{S}_{ABD}}sin left( (ABC),(ABD) right)}{3AB}=dfrac{2left( dfrac{sqrt{3}{{a}^{2}}}{4} right)left( dfrac{sqrt{3}{{a}^{2}}}{4} right)}{3a}sin left( (ABC),(ABD) right)le dfrac{2left( dfrac{sqrt{3}{{a}^{2}}}{4} right)left( frac{sqrt{3}{{a}^{2}}}{4} right)}{3a}=dfrac{{{a}^{3}}}{8}.$
Dấu bằng đạt tại $(ABC)bot (ABD).$ Chọn đáp án A.
Ví dụ 5: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có diện tích tam giác ${A}’BC$ bằng $4,$ khoảng cách từ $A$ đến $BC$ bằng $3,$ góc giữa hai mặt phẳng $left( {A}’BC right)$ và $left( {A}'{B}'{C}’ right)$ bằng $30{}^circ .$ Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ bằng
A. $3sqrt{3}.$
B. $6.$
C. $2.$
D. $12.$
Giải. Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện cho trường hợp biết góc và diện tích của hai mặt
${{V}{ABC.{A}'{B}'{C}’}}=3{{V}{{A}’.ABC}}=3left( dfrac{2{{S}{{A}’BC}}.{{S}{ABC}}.sin left( left( {A}’BC right),left( ABC right) right)}{3BC} right)$
$=dfrac{{{S}{{A}’BC}}.dleft( A,BC right).BC.sin left( left( {A}’BC right),left( ABC right) right)}{BC}={{S}{{A}’BC}}.dleft( A,BC right).sin left( left( {A}’BC right),left( ABC right) right)=4.3.dfrac{1}{2}=6.$ Chọn đáp án B.
Mở rộng công thức tính thể tích cho khối chóp đa giác
Công thức tính thể tích cho khối tứ diện có thể được mở rộng cho các khối chóp có đáy là một đa giác bất kỳ.
Từ tứ diện đến chóp n-giác
Khối tứ diện là trường hợp đặc biệt của khối chóp với đáy là tam giác ($n=3$). Công thức tổng quát cho khối chóp $S.A_1A_2…An$ có thể tích được xác định bởi:
$V=dfrac{1}{3}S{đáy} cdot h,$
trong đó $S{đáy}$ là diện tích mặt đáy và $h$ là chiều cao từ đỉnh $S$ xuống mặt phẳng đáy.
Công thức này là nền tảng cho mọi cách tính thể tích của các khối chóp, bao gồm cả tứ diện. Tuy nhiên, khi biết diện tích mặt bên và mặt đáy cùng góc giữa chúng, ta có một công thức khác:
Khối chóp $S.{{A}{1}}{{A}{2}}…{{A}{n}}$ có $V=dfrac{2{{S}{S{{A}{1}}{{A}{2}}}}.{{S}{{{A}{1}}{{A}{2}}…{{A}{n}}}}.sin left( (S{{A}{1}}{{A}{2}}),({{A}{1}}{{A}{2}}…{{A}{n}}) right)}{3{{A}{1}}{{A}{2}}}.$
Công thức này cho thấy sự linh hoạt trong việc tính thể tích dựa trên các thông số khác nhau, không chỉ giới hạn ở chiều cao và diện tích đáy.
Cách tính thể tích khối tứ diện khi biết các góc tại cùng một đỉnh
Một cách tính thể tích khối tứ diện khá thú vị khác là khi chúng ta biết độ dài ba cạnh xuất phát từ một đỉnh và ba góc phẳng tại đỉnh đó.
Diễn giải công thức và vai trò của các góc
Đối với khối chóp $S.ABC$ (tức khối tứ diện $S.ABC$) có $SA=a, SB=b, SC=c,$ và các góc $widehat{BSC}=alpha, widehat{CSA}=beta, widehat{ASB}=gamma,$ công thức tính thể tích được cho bởi:
$V=dfrac{abc}{6}sqrt{1+2cos alpha cos beta cos gamma -{{cos }^{2}}alpha -{{cos }^{2}}beta -{{cos }^{2}}gamma }.$
Công thức này thường được gọi là công thức thể tích của khối chóp tam giác với ba cạnh và ba góc ở đỉnh. Nó cho thấy mối quan hệ phức tạp giữa độ dài cạnh và góc trong việc xác định thể tích khối tứ diện. Đây là một công cụ mạnh mẽ khi thông tin về chiều cao hoặc diện tích đáy không có sẵn.
Hình ảnh minh họa tứ diện và các góc tại một đỉnh để tính thể tích
Các bài toán vận dụng cao
Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=a,SB=2a,SC=4a$ và $widehat{ASB}=widehat{BSC}=widehat{CSA}={{60}^{0}}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a.$
A. $dfrac{8{{a}^{3}}sqrt{2}}{3}.$
B. $dfrac{2{{a}^{3}}sqrt{2}}{3}.$
C. $dfrac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{3}.$
D. $dfrac{4{{a}^{3}}sqrt{2}}{3}.$
Giải. Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo các góc tại một đỉnh ta có
${{V}_{S.ABC}}=dfrac{1}{6}SA.SB.SCsqrt{1+2cos widehat{ASB}cos widehat{BSC}cos widehat{CSA}-{{cos }^{2}}widehat{ASB}-{{cos }^{2}}widehat{BSC}-{{cos }^{2}}widehat{CSA}}$
$=dfrac{1}{6}a.2a.4asqrt{1+2left( dfrac{1}{2} right)left( dfrac{1}{2} right)left( dfrac{1}{2} right)-{{left( dfrac{1}{2} right)}^{2}}-{{left( dfrac{1}{2} right)}^{2}}-{{left( dfrac{1}{2} right)}^{2}}}=dfrac{2sqrt{2}}{3}{{a}^{3}}.$
Chọn đáp án B.
Ví dụ 2: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có $widehat{A{A}’B}=widehat{B{A}’C}=widehat{C{A}’A}={{60}^{0}}$ và $A{A}’=3a,B{A}’=4a,C{A}’=5a.$ Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. $10sqrt{2}{{a}^{3}}.$
B. $15sqrt{2}{{a}^{3}}.$
C. $5sqrt{2}{{a}^{3}}.$
D. $30sqrt{2}{{a}^{3}}.$
Giải. Ta có ${{V}{ABC.{A}'{B}'{C}’}}=3{{V}{{A}’.ABC}}$ và áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện theo các góc tại một đỉnh ta được
$=3.dfrac{1}{6}{A}’A.{A}’B.{A}’Csqrt{1+2cos widehat{A{A}’B}cos widehat{B{A}’C}cos widehat{C{A}’A}-{{cos }^{2}}widehat{A{A}’B}-{{cos }^{2}}widehat{B{A}’C}-{{cos }^{2}}widehat{C{A}’A}}$
$=dfrac{1}{2}.3a.4a.5asqrt{1+2{{left( dfrac{1}{2} right)}^{3}}-3{{left( dfrac{1}{2} right)}^{2}}}=15sqrt{2}{{a}^{3}}.$ Chọn đáp án B.
Ví dụ 3: Khối tứ diện $ABCD$ có $AB=5, CD=sqrt{10}, AC=2sqrt{2}, BD=3sqrt{3}, AD=sqrt{22}, BC=sqrt{13}$ có thể tích bằng
A. $20.$
B. $5.$
C. $15.$
D. $10.$
Giải. Tứ diện này có độ dài tất cả các cạnh ta tính các góc tại một đỉnh rồi áp dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa trên 3 góc xuất phát từ cùng 1 đỉnh:
Có $left{ begin{gathered} hfill cos widehat{BAD}=dfrac{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}-B{{D}^{2}}}{2AB.AD}=sqrt{dfrac{2}{11}} hfill cos widehat{DAC}=dfrac{A{{D}^{2}}+A{{C}^{2}}-C{{D}^{2}}}{2AD.AC}=dfrac{5}{2sqrt{11}} hfill cos widehat{CAB}=dfrac{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2AC.AB}=dfrac{1}{sqrt{2}} end{gathered} right..$
Vì vậy ${{V}_{ABCD}}=dfrac{1}{6}.5.2sqrt{2}.sqrt{22}sqrt{1+2sqrt{dfrac{2}{11}}dfrac{5}{2sqrt{11}}dfrac{1}{sqrt{2}}-{{left( sqrt{dfrac{2}{11}} right)}^{2}}-{{left( dfrac{5}{2sqrt{11}} right)}^{2}}-{{left( dfrac{1}{sqrt{2}} right)}^{2}}}=5.$
Chọn đáp án B.
Lưu ý quan trọng khi áp dụng các cách tính thể tích khối tứ diện
Để đạt được hiệu quả cao nhất trong việc giải các bài toán liên quan đến thể tích khối tứ diện, người học cần lưu ý một số điểm quan trọng sau:
- Xác định đúng loại tứ diện: Đây là bước đầu tiên và quan trọng nhất. Mỗi loại tứ diện (đều, vuông, gần đều) sẽ có công thức riêng biệt giúp giải nhanh hơn rất nhiều.
- Hiểu rõ các thông số: Đảm bảo bạn hiểu rõ ý nghĩa của từng biến trong công thức (cạnh, chiều cao, diện tích đáy, góc, khoảng cách). Sai lầm trong việc xác định các thông số có thể dẫn đến kết quả sai.
- Nắm vững kiến thức hình học cơ bản: Các công thức tính thể tích thường đi kèm với việc áp dụng các định lý Pytago, công thức Heron cho tam giác, công thức đường trung tuyến, hay các quy tắc về góc và khoảng cách trong không gian.
- Thực hành thường xuyên: Việc giải nhiều dạng bài tập khác nhau sẽ giúp bạn làm quen với việc lựa chọn và áp dụng đúng công thức, cũng như phát hiện ra các mối liên hệ ẩn trong bài toán.
- Cẩn trọng với đơn vị: Luôn đảm bảo tất cả các đơn vị trong bài toán là đồng nhất trước khi thực hiện tính toán.
FAQ: Các câu hỏi thường gặp về cách tính thể tích khối tứ diện
Câu hỏi 1: Công thức tính thể tích khối tứ diện tổng quát có phức tạp không?
Có, công thức tính thể tích khối tứ diện tổng quát (dựa trên 6 cạnh) khá phức tạp và đòi hỏi nhiều phép tính, thường ít được sử dụng trong các bài toán phổ thông mà chủ yếu mang tính lý thuyết hoặc trong các trường hợp đặc biệt không thể áp dụng công thức đơn giản hơn.
Câu hỏi 2: Có cách nào để tính thể tích tứ diện mà không cần biết chiều cao không?
Hoàn toàn có. Các cách tính thể tích khối tứ diện như dùng công thức dựa trên 6 cạnh, công thức dựa trên khoảng cách và góc giữa hai cạnh đối diện, hoặc công thức dựa trên độ dài ba cạnh xuất phát từ một đỉnh và ba góc phẳng tại đỉnh đó đều không yêu cầu biết chiều cao trực tiếp.
Câu hỏi 3: Thể tích khối tứ diện đều có công thức đặc biệt nào không?
Đúng vậy, thể tích khối tứ diện đều cạnh $a$ được tính bằng công thức $V=dfrac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{12}.$ Đây là một công thức rất thông dụng và dễ nhớ.
Câu hỏi 4: Khi nào nên sử dụng công thức tính thể tích tứ diện vuông?
Bạn nên sử dụng công thức tính thể tích khối tứ diện vuông ($V=dfrac{1}{6}abc$) khi biết một đỉnh của khối tứ diện có ba cạnh xuất phát từ đó đôi một vuông góc với nhau. Đây là trường hợp đơn giản nhất sau tứ diện đều.
Câu hỏi 5: Khối tứ diện gần đều có gì đặc biệt?
Khối tứ diện gần đều là khối tứ diện có các cặp cạnh đối diện bằng nhau. Ví dụ, nếu $AB=CD, BC=AD, AC=BD$. Công thức tính thể tích cho loại này cũng có dạng riêng biệt.
Câu hỏi 6: Làm thế nào để xác định góc giữa hai mặt phẳng để tính thể tích?
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng đó và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng tại một điểm. Việc xác định góc này thường đòi hỏi kỹ năng dựng hình và kiến thức về quan hệ vuông góc trong không gian.
Câu hỏi 7: Công thức tính thể tích khối tứ diện theo tọa độ có không?
Có, nếu biết tọa độ bốn đỉnh của khối tứ diện $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$, $C(x_C, y_C, z_C)$, $D(x_D, y_D, z_D)$, thể tích có thể được tính bằng công thức sử dụng định thức hoặc tích hỗn tạp của các vectơ: $V = dfrac{1}{6} |(vec{AB} times vec{AC}) cdot vec{AD}|$.
Câu hỏi 8: Có phải mọi khối chóp đều là khối tứ diện không?
Không, khối tứ diện là một loại khối chóp đặc biệt có đáy là tam giác. Khối chóp nói chung có thể có đáy là bất kỳ đa giác nào (ví dụ: chóp tứ giác, chóp ngũ giác…).
Câu hỏi 9: Việc ghi nhớ các công thức này có thực sự cần thiết không?
Việc ghi nhớ các công thức tính thể tích khối tứ diện cơ bản và các trường hợp đặc biệt là rất cần thiết, đặc biệt là đối với học sinh ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán. Nắm vững các công thức này giúp giải quyết bài toán nhanh và chính xác hơn, tiết kiệm thời gian làm bài.
Câu hỏi 10: Gia Sư Thành Tâm có hỗ trợ học sinh về phần hình học không gian này không?
Đương nhiên rồi! Gia Sư Thành Tâm luôn sẵn lòng cung cấp các tài liệu, bài giảng và đội ngũ gia sư giàu kinh nghiệm để giúp các em nắm vững kiến thức, kỹ năng giải bài tập hình học không gian, bao gồm cả các cách tính thể tích khối tứ diện, để đạt được kết quả tốt nhất trong học tập.
Hy vọng với những chia sẻ chi tiết về các cách tính thể tích khối tứ diện trong bài viết này, các bạn học sinh và quý phụ huynh đã có thêm nhiều thông tin hữu ích. Việc nắm vững các công thức và biết cách áp dụng linh hoạt sẽ giúp các em tự tin chinh phục mọi dạng bài tập hình học không gian. Đừng ngần ngại liên hệ với Gia Sư Thành Tâm nếu bạn cần thêm sự hỗ trợ trong quá trình học tập nhé!
